репетитор по математике и физике


                                                                                                                                      

                                                                      Артём Александрович Рогов



Рогов А.А.  /  Обучение  /  Некоторые полезные соотношения геометрии четырёхугольника


Челябинская область, г.Снежинск, на берегу озера Синара 


Крым,г.Алушта,тренирую организм




Рассмотрим произвольный выпуклый четырёхугольник ABCD. Введём величины
 

отрезок, соединяющий середины DC, AB

отрезок, соединяющий середины AD, CB

отрезок, соединяющий середины диагоналей

Получим некоторые полезные соотношения

Сложим их ( учтём, что и ) получим

Аналогично и

Тогда

Распишем

Далее по теореме косинусов имеем

Аналогично

Тогда 

Итак

Аналогично получим и

Теорема косинусов для четырёхугольника

Переходя к векторам можем получить

Итак

Соотношение Бретшнайдера

Верно следующее соотношение

Доказательство

Построим и

Тогда запишем

Тогда по теореме косинусов для .

Заметьте, что ,

Теперь можем записать

Площадь четырёхугольника. Формула Брахмагупты

Легко получить(сделайте это самостоятельно!), что площадь четырёхугольника равна . На чертеже параллелограмм

Можно доказать, что

Из этой формулы следует, что если четырёхугольник вписан, то - формула Брахмагупты


Яндекс цитирования
ВебСтолица.РУ: создай свой бесплатный сайт!  | Пожаловаться  
Движок: Amiro CMS