репетитор по математике и физике


                                                                                                                                      

                                                                      Артём Александрович Рогов



Рогов А.А.  /  Обучение  /  Интересные теоремы геометрии


Челябинская область, г.Снежинск, на берегу озера Синара 


Крым,г.Алушта,тренирую организм




Существуют в геометрии факты, которые не принято рассматривать в стандартном курсе геометрии. Хотя они просты и помогают в решении многих задач геометрии и поэтому их полезно знать учащимся, которые

хотят набрать высокий бал на ЕГЭ. Эти вопросы я подробно разбираю в своём специализированном курсе “ЕГЭ на сто”. Его я припадаю в двух формах: индивидуальные занятия и on-line с помощью ICQ или Skype.

Здесь я рассмотрю некоторые темы этого курса. Все вопросы мне можно прислать на e-mail: arogov_84@mail.ru 

Я с удовольствием отвечу.

Замечание: поскольку все теоремы ниже не входят в стандарт общеобразовательной школы, то при их использовании в решении задач нужно их доказывать

Теорема Чевы

Будем называть отрезок чевианной треугольника, если он соединяет вершину с противоположной стороной

Теорема Чевы. Пусть дан треугольник ABC и проведены три его чевианы AX BY CZ, пересекающиеся в точке P. Тогда справедливо утверждение

Доказательство

Как следует из рисунка

Аналогично для ;

Таким образом, получаем

Формула Эйлера

Пусть дан треугольник ABC, R-радиус описанной окружности, r- вписанной окружности. Тогда расстояние между центрами вписанной и описанной окружности равны

Эта формула называется формулой Эйлера. Её проще всего получить если воспользоваться школьной теоремой о том, что при пересечение двух хорд, точка пересечения хорд делит их на отрезки произведение которых одной хорды равны произведению другой хорды. То есть рассмотрим две хорды AB и СD, а одна из которых проходит через диаметр(AB).

Пусть точка P-пересечение этих хорд лежит на расстоянии d от центра тогда по упомянутой выше теореме (*)

Теперь получим формулу Эйлера.

Рассмотрим треугольник ABC(см.рис.).

Пусть точка O-центр описанной окружности, I-центр вписанной окружности.

Тогда используя (*) имеем

                   

Прямая Эйлера. Окружность Эйлера

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть H-его ортоцентр, С’, A’,B’-середины его сторон AB, BC,CA, соответственно; K,M,L- середины отрезков BH,CH,AH, соответственно.

Сказанное проиллюстрировано на рисунке ниже

Теорема. Точки F,C',K,E,A',M,B',D,L лежат на одной окружности Эйлера (она же окружность девяти точек, окружность Фейрбаха)

Доказательство

Прямая KM параллельна CB(средняя линия треугольника CHB)

Прямая B’C’ параллельна CB(средняя линия треугольника ABC)

Причём поскольку ВСAE и C’K параллельна AE(почему?), то четырехугольник C’KMB’-прямоугольник

Строим окружность с диаметром KB’. Точки С’ и M будут лежат на этой окружности так как они вершины прямоугольника C’KMB’

Точка D принадлежит этой окружности так как

Точка L принадлежит этой окружности так как четырёхугольник KLA’B’-прямоугольник(почему?). Значит A’ тоже лежит на этой окружности

Точки F и E также лежат на этой окружности(почему). То есть все девять точек принадлежат одной окружности. Теорема доказана

Теорема. Центройд треугольника(точка пересечения медиан, или центр тяжести треугольника лежит), ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности Эйлера лежат на одной прямой (прямая Эйлера)

Доказательство(гомотетия)

Эффектное доказательство этого факта основано на применение гомотетии. По свойству точки пересечения медиан можем заключить, что гомотетичен с коэффициентом k= 0.5. тогда ортоцентр преобразуется в ортоцентр (точка пересечения срединных перпендикуляров ). Таким образом, ортоцентр , центр описанной возле него окружности и центр окружности Эйлера лежат на одной прямой.

Теорема. Радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружности.

Утверждение легко следует из доказанной выше теоремы

Теорема Фейрбаха. Окружность Эйлера касается его трёх его вневписанных и вписанной окружности

Прямая Симпсона

Теорема. Пусть дан треугольник ABC и описанная возле него окружность. Из точки, лежащей на окружности проведём перпендикуляры пересекающиеся со сторонами треугольника в точках X,Y,Z. Тогда все три точки лежат на одной прямой(прямой Симпсона)

Доказательство

Докажем, что угол . В самом деле, (A,B,P,C лежат на одной окружности. Почему?)

(X,P,Z,A лежат на одной окружности. Почему?)

Таким образом, . Следовательно, (*).

Далее, поскольку точки Y,P,Z,C лежат на одной окружности(?), то 

Аналогично, (**). Тогда из (*) и (**). Отсюда следует, что Z,Y,X лежат на одной прямой. 

Определение. Три точки коллинеарные, если они принадлежат одной прямой)

Критерии колиннеарности

теорема Менелая

Пусть дан треугольник ABC и прямая пересекающая три его стороны в точках X, Y, Z(см.рис.). Тогда, если X,Y,Z лежат на одной прямой, то верно утверждение

(верно и обратное утверждение. Предлагаю сформулировать его и доказать самостоятельно)

Доказательство

Доказательство (гомотетия)

Пусть дано, что X,Y,Z коллинеарные. Докажем

По определению гомотетии имеем (*)

По определению гомотетии имеем (**)

По определению гомотетии имеем (***)

Таким образом, гомотетию (**) можно представить как композицию (*) и (***)

теорема Папа

Пусть точки E, C,A лежат на одной прямой, точки B, F,D на другой

Тогда точки , , лежат на одной прямой

Докажите этот факт самостоятельно. Разглядите на рисунке подходящие треугольники и примените к ним теорему Менелая.

теорема Дезарга(очень красивая теорема!!!. начало проективной геометрии)

Пусть даны два  и , таких что прямые  , , пересекаются в точке S. Тогда если существуют точки

и , то они лежат на одной прямой(см.рис.)

Доказательство этой теоремы простое, но громоздкое и основано на теореме Менелая

Здесь я рассмотрел некотрые базовые дополнительные теоремы и утверждения.Примеры конкретных задач,где эти и др.теоремы значительно облегчают жизнь я оставляю для индивидуальных и on-line занятий

Яндекс цитирования
ВебСтолица.РУ: создай свой бесплатный сайт!  | Пожаловаться  
Движок: Amiro CMS