репетитор по математике и физике


                                                                                                                                      

                                                                      Артём Александрович Рогов



Рогов А.А.  /  Обучение  /  Геометрические неравенства


Челябинская область, г.Снежинск, на берегу озера Синара 


Крым,г.Алушта,тренирую организм




В школьном курсе геометрии рассматривается важнейшее неравенство треугольника: любая сторона треугольника меньше суммы двух других.

Но в геометрии существует довольно много других полезных неравенств. В школе им, как правило, уделяется мало времени. На своих занятиях я рассматриваю неравенства, которые помогают в решении различных геометрических задач. Их знание позволяет оценить разумность полученного ответа, что важно при решении задач ЕГЭ уровня B и С. Здесь приведу некоторые из них.

Вот неравенства, которые следуют из неравенства треугольника (убедитесь в этом самостоятельно)

  1. Сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD больше суммы двух противоположных сторон
  2. Сумма расстояний от точки лежащей внутри треугольника до его вершин больше его полупериметра
  3. В любом треугольнике сумма синусов двух углов больше синуса его третьего угла

Полезные неравенства можно получит из известных формул.

  1. Из формулы Эйлера (её можно найти в разделе “ Интересные теоремы геометрии”) следует неравенство

  1. Из ( оно рассмотрено в разделе “ Некоторые полезные соотношения геометрии треугольника”)

следует неравенство (*)

Далее рассмотрим следующие алгебраические соотношения

-среднее арифметическое

-среднее геометрическое

-среднее квадратичное

- среднее гармоническое

Можно доказать, что (полезное соотношение)

Используя это алгебраическое неравенство легко понять, что в треугольнике ABC . В самом деле, средне арифметическое не больше средне арифметического, то есть . Из (*) следует , то есть . Тогда окончательно получаем


Яндекс цитирования
ВебСтолица.РУ: создай свой бесплатный сайт!  | Пожаловаться  
Движок: Amiro CMS